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Nuestro propósito será explorar las propiedades básicas de los cuaterniones, como punto inicial; estudiar su analogía con los números complejos, y finalizar nuestra investigación presentando una aplicación muy importante y recientemente descubierta: la representación de la geometría tridimensional de las proteínas. En el capítulo 1, estudiaremos la estructura algebraica de los cuaterniones y la relación que poseen con las rotaciones tridimensionales, las cuales podemos caracterizar por un solo cuaternión gracias a la correspondencia que existe entre SO3, el grupo de matrices ortogonales, y S3. Además, debido a la dificultad para visualizar un cuaternión, se estudiarán métodos de visualización de los cuaterniones unitarios a través de proyecciones hacia R3 y R2. En el capítulo 2, estudiaremos la geometría diferencial de curvas, principalmente el triedro de Frenet-Serret, el cual nos permitirá asociar un sistema de referencia a cada punto de una curva parametrizada diferenciable, y conocer cómo se comporta la curva en el espacio. Finalmente, en el capítulo 3, definiremos los marcos de referencia cuaterni_onicos, y estableceremos su relación con el estudio de la estructura secundaria de proteínas. Veremos que es posible asociar un cuaternión a un triedro por medio de una rotación que va desde el triedro o marco identidad hacia el triedro deseado, a través de la denominada aplicación.
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